ช่วยอธิบายให้ทีครับตอบ: 2, อ่าน: 5817, แท็ก: วรพล
พอดีไปซื้อหนังสือเล่มนึงมางงข้อนี้มากๆ
ถ้า p เป็นจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 150 ถึง 2000 ที่ (p,63) = 7 แล้ว p มีทั้งหมดกี่จำนวน
แล้วเฉลยเป็นอย่างนี้ครับ
(p,63) = 7 ซึ่ง 63 = 7 x 3 x 3
แสดงว่า p เป็นตัวเลขที่มี 7 เป็นตัวประกอบ (หาร 7 ลงตัว) แต่ห้ามมี 3 เป็นตัวประกอบ (หาร21 (หาร3และ7) ไม่ลงตัว)
ดังนั้นการหาจำนวนสมาชิกของ p ทำได้โดย
n(p) = n(หาร7ลงตัวแต่หารด้วย 3 ไม่ลงตัว)
= n(หาร7ลงตัว) - n(หาร21ลงตัว)
ผมงงตรงทำไมถึงห้ามมี3เป็นตัวประกอบ แล้วทำไมต้องหาร21ไม่ลงตัว
แล้วก็งงตรง n(p) = n(หาร7ลงตัวแต่หารด้วย 3 ไม่ลงตัว)
= n(หาร7ลงตัว) - n(หาร21ลงตัว) ***บรรทัดนี้มายังไง
แล้วก็อีกข้อนึง
ถ้า p เป็นจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 100 ถึง 1500 ที่ ห.ร.ม. ของ p กับ 21 มีค่าเท่ากับ 1
แล้ว p มีทั้งหมดกี่จำนวน
(p,21) = 1 ซึง 21 = 3 x 7 แสดงว่า p เป็นตัวเลขที่ห้ามมี 3และ 7เป็นตัวประกอบ
หรือ p ห้ามหาร 3 และ 7 ลงตัว ดังนั้น
n(หาร 3และ 7ไม่ลงตัว) = n(ทั้งหมด) - n(หาร3หรือ7ลงตัว)
งงตรงวงเล็บนี้ครับทำไมไม่เป็น n(หาร3 และ 7ลงตัว)
ช่วยอธิบายให้ผมหน่อยนะครับ มึนมากๆ
ขอบคุณมากๆครับ
วรพล
คำถามข้อแรกนะครับ
1. ทำไมถึงห้ามมี 3 เป็นตัวประกอบ
คำตอบคือ หากมี 3 เป็นตัวประกอบ ก็จะทำให้ ห.ร.ม. ไม่เท่ากับ 7 สิครับ อย่างน้อย ห.ร.ม. ก็เป็น 21 ครับ
2. ทำไมต้องหาร 21 ไม่ลงตัว
คำตอบคือ ถ้ามี 3, 7 เป็นตัวประกอบ แสดงว่า p = 3*7*x = 21*x ; x เป็นตัวเลขใดๆ ทำให้ p ก็หารด้วย 21 ลงสิครับ แต่ถ้า p มี 7 เป็นตัวประกอบแต่ไม่มี 3 เป็นตัวประกอบ อย่างไรเสีย 21 หาร p ไม่ลงครับ
3. บรรทัด n(p) มาอย่างไร
คำตอบคือ มาจากสูตรแบบเซตครับ คือ
$n(A-B) = n(A)-n(A \cap B)$ โดยที่ A คือเซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 7 ลงตัว และ B คือเซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 3 ลงตัว ทำให้
$A-B$ ก็คือ เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 7 ลงตัว แต่หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ส่วน
$A \cap B$ นั้น ก็คือ เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 7 ลงตัว และหารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งก็หมายความว่า หารด้วย 21 ลงตัวนั้นเอง
คำถามข้อที่สอง
ทำไมวงเล็บนี้ไม่เป็น n(หาร3และ7ลงตัว)
คำตอบคือ สูตรแบบเซตปกติครับ คือ
$n(A \cup B)' = n(\mathcal{U}) - n(A \cup B)$ โดยที่ A คือเซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 7 ลงตัว และ B คือเซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่ง
$A \cup B$ ก็คือ หารด้วย 3 หรือ 7 ลงตัว ครับ
(ลองวาดแผนภาพ Vein-Euler ดูนะครับจะเข้าใจมากยิ่งขึ้น)
Terasut
ขอบคุณคุณ Terasut ที่สละเวลาช่วยตอบเช่นเคยคร้าบ และขออนุญาตแก้ไขสัญลักษณ์นะครับ ^ ^
ขออธิบายเสริมเฉพาะคำถามสุดท้ายให้ชัดเจนขึ้นครับผม
ทำไมถึงเป็น n (หารด้วย 3 และ 7 ไม่ลงตัว) = n (ทั้งหมด) - n (หารด้วย 3 หรือ 7 ลงตัว)
การเปลี่ยน "และ" เป็น "หรือ" คือข้อบังคับของการหานิเสธ/การแจกแจงคอมพลีเมนต์เข้าในวงเล็บครับ
(ถ้าเราไม่เปลี่ยน สิ่งที่ได้จะไม่ใช่นิเสธกันครับ และคำตอบจะผิด)
พูดอีกอย่างคือ
$(A \cap B)' = A' \cup B'$ และ
$\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$ นั่นเองครับ
นวย