ตรรกศาสตร์ตอบ: 4, อ่าน: 3885, แท็ก: ช่วยอธิบายหน่อยคะ
พี่นวยคะ หนูสงสัยเรื่อง \forall กับ \exists น่ะค่ะว่าเวลามีประโยคเงื่อนไขมาให้เราที่เป็นข้อความมา
เเล้วเราจะต้องใช้ตัวเชื่อมไหน ที่จะทำให้มันเป็นประโยคสัญลักษณ์ น่ะค่ะ
ที่เห็นบ่อยๆ \forall ก็จะเป็น \to และ \exists ก็จะเป็น \wedge
อย่างเช่น " สำหรับจำนวนคี่ใดๆ x^3 - x เป็นจำนวนคี่ จะเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า \forall x [x เป็นจำนวนคี่ \to x^3 - x เป็นจำนวนคี่ ]
จำเป็นไหมคะว่า \forall มันต้องใช้กับ \to ข้อความมันถึงจะเป็นจริงสอดคล้องกับ U น่ะค่ะ
ส่วนมากจะเห็นแบบนี้บ่อยๆ ช่วยอธิบายหน่อยค่ะ
ขอถามอีกนิดหนึ่งนะคะ ประโยค \forall x \exists y[x>0 \to 1/y<x]
ตัวหน้า x>0 หมายถึง \forall ตัวหลัง 1/y<x หมายถึง \exists y รึเปล่าคะ ขอบคุณค่ะ
อ่า..งง ขอแปลก่อน
พี่นวยคะ หนูสงสัยเรื่อง $\forall$ กับ $\exists$ น่ะค่ะ
ว่าเวลามีประโยคเงื่อนไขมาให้เราที่เป็นข้อความมา เเล้วเราจะต้องใช้ตัวเชื่อมไหน ที่จะทำให้มันเป็นประโยคสัญลักษณ์น่ะค่ะ
ที่เห็นบ่อยๆ $\forall$ ก็จะเป็น $\to$ และ $\exists$ ก็จะเป็น $\wedge$
อย่างเช่น "สำหรับจำนวนคี่ใดๆ $x^3 - x$ เป็นจำนวนคี่ จะเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า $\forall x [x $เป็นจำนวนคี่ $\to x^3 - x$ เป็นจำนวนคี่ ]
จำเป็นไหมคะว่า $\forall$ มันต้องใช้กับ $\to$ ข้อความมันถึงจะเป็นจริงสอดคล้องกับ $\mathcal{U} $ น่ะค่ะ
ส่วนมากจะเห็นแบบนี้บ่อยๆ ช่วยอธิบายหน่อยค่ะ
ขอถามอีกนิดหนึ่งนะคะ ประโยค $\forall x \exists y[x>0 \to 1/y<x]$
ตัวหน้า x>0 หมายถึง $\forall$ ตัวหลัง $1/y<x$หมายถึง $\exists y$ รึเปล่าคะ ขอบคุณค่ะ
swi 06/12/2010 07:05 |
เอ่อ....รู้สึกน้อง swi จะเข้าใจเรื่อง for all กะ for some คลาดเคลื่อนไปหน่อย
แต่เดี๋ยวรอพี่นวยมาอธิบายละกันค่ะ (อู้ตลอดอ่ะเรา) 555
Shauฯ
(ขอโทษน้อง swi ที่ตอบช้าเป็นเดือนนะครับ พิมพ์คำตอบไว้แล้วแต่ลืมเอามาแปะครับ - -")
ไม่จำเป็นว่า forall จะต้องใช้กับ "ถ้า..แล้ว..", และไม่จำเป็นว่า forsome จะต้องใช้กับ "และ" ครับ
ทั้ง forall และ forsome จะใช้กับตัวเชื่อมใดก็ได้ ขึ้นอยู่กับข้อความที่โจทย์ตั้งขึ้นมาครับ
แต่บางครั้งก็อาจต้องใช้เวลาในการตีความหน่อย (เดี๋ยวจะยกตัวอย่างให้ดูนะครับ)
ส่วนค่าความจริงที่ได้นั้น เราพิจารณาจากความหมายของประโยคครับ อาจเป็นจริงหรือเป็นเท็จก็ได้
ให้อ่านเป็นภาษาไทยก่อนแล้วค่อยพิจารณา ถ้าสอดคล้องกับ
$\mathcal{U}$ ก็คือจริง ถ้าไม่สอดคล้องก็เท็จครับ
(ไม่เกี่ยวกับว่าสัญลักษณ์ไหนมาเจอกับอันไหนแล้วจะจริง หรือสอดคล้อง
$\mathcal{U}$ เสมอไปครับ)
นวย
มาดูตัวอย่างที่น้องให้มากันดีกว่าครับ.. "สำหรับจำนวนคี่ x ใดๆ.. x^3 - x เป็นจำนวนคี่"
มีการกำหนดให้ x เป็นจำนวนคี่ก่อน แล้วก็จะได้ x^3 - x เป็นจำนวนคี่ตามมา
จะเห็นว่ารูปแบบนี้สื่อความหมายเหมือนกับ "ถ้า..แล้ว.." ครับ คือมีเหตุก่อนแล้วมีผลตามมา
ดังนั้นเขียนจึงเป็นสัญลักษณ์ได้
$\forall x [ x$ เป็นจำนวนคี่
$\to (x^3 - x)$ เป็นจำนวนคี่
$]$
ประโยคนี้จะเป็นจริง ถ้าหากจำนวนคี่ x ทุกจำนวน ล้วนทำให้ x^3 - x เป็นจำนวนคี่
จะเป็นเท็จ ถ้าหากพบจำนวนคี่ x บางจำนวน ที่ x^3 - x ไม่เป็นจำนวนคี่ (ในวงเล็บจะเกิด
$T \to F$)
ถ้าเกิดเราไปใช้ "และ" ก็จะได้
$\forall x [ x$ เป็นจำนวนคี่
$\wedge (x^3 - x)$ เป็นจำนวนคี่
$]$
อ่านได้ว่า สำหรับจำนวน x ใดๆ.. "x เป็นจำนวนคี่ และ x^3 - x เป็นจำนวนคี่"
ซึ่งแบบนี้ความหมายจะผิดไปจากโจทย์ครับ เพราะเขากำหนดมาให้ x เป็นจำนวนคี่ก่อนตั้งแต่เริ่ม
(ไม่งั้นพอเจอ x ที่ไม่ใช่จำนวนคี่ ก็จบกันเลยครับ เกิดเท็จทันที ซึ่งไม่ใช่สิ่งที่โจทย์ต้องการตรวจสอบ)
ทีนี้สมมติพี่นวยเปลี่ยนโจทย์เป็น "มีจำนวนคี่ x บางจำนวน ซึ่ง x^3 - x เป็นจำนวนคี่"
อันนี้มองเป็น "และ" ได้ครับ นั่นคือ
$\exists x [ x$ เป็นจำนวนคี่
$\wedge (x^3 - x)$ เป็นจำนวนคี่
$]$
ประโยคนี้จะเป็นจริง ถ้าหากพบจำนวนคี่ x บางจำนวน ที่ x^3 - x เป็นจำนวนคี่
จะเป็นเท็จ ถ้าหากไม่มีจำนวนคี่ x จำนวนใดเลย ที่ x^3 - x เป็นจำนวนคี่
แต่จะมองเป็น "ถ้า..แล้ว.." ไม่ได้ครับ
เพราะตัวเชื่อมนี้จะมีช่องโหว่ กรณีที่ในวงเล็บเป็น (
$F \to F$) จะเกิดจริงทันทีเลย
นั่นคือ พอเจอ x ที่ไม่ใช่จำนวนคี่ โดยที่ x^3 - x ไม่เป็นจำนวนคี่ด้วย จะเกิดจริงทันที
ซึ่งก็ไม่ใช่สิ่งที่โจทย์ต้องการตรวจสอบอีกนั่นแหละครับ
อาจสรุปว่าที่น้องบอก "forall มักใช้กับ ถ้า..แล้ว.. / forsome มักใช้กับ และ" นั้น ก็มีส่วนถูกครับ
เกิดจากรูปประโยคที่เรานิยมพูดกัน เอามาแปลเป็นสัญลักษณ์ แต่ว่าไม่ได้ให้ค่าเป็นจริงเสมอไปนะครับ
นวย
ส่วนอีกคำถามหนึ่ง.. ข้อความ
$\forall x \exists y [ x > 0 \to 1/y < x ]$ นั้น
อ่านได้ว่า "สำหรับ x ทุกตัว, จะมี y บางตัวที่สอดคล้องกับ
$[ x > 0 \to 1/y < x ]$"
นั่นคือเราต้องหยิบ x ทุกตัวจาก
$\mathcal{U}$ มาใส่ลงไปครับ (ทีละตัวๆ) แทนทุกตำแหน่งภายใน [ ] ที่มี x ปรากฏอยู่
โดยข้อความบอกว่า x ทุกตัวจะมี y บางตัว ถ้าเราหา y ที่ใช้คู่กับ x นั้นได้ก็คือผ่าน ก็เปลี่ยนไปเป็น x ตัวถัดไปครับ
ประโยคนี้จะเป็นจริงเมื่อ x ทุกตัว ล้วนหา y ที่มาคู่กันได้ (อย่างน้อยหนึ่งตัวก็พอ)
จะเป็นเท็จเมื่อพบ x บางตัว ที่ไม่มี y ใดมาคู่กันได้เลย
(คำว่า "ใช้คู่กันได้" ของพี่นวย หมายถึงว่า เป็นค่า x และค่า y ที่ใส่ลงใน [ ] แล้วเกิดค่าความจริง T น่ะครับ)
นวย